Exercițiul 142

E.142. Determinați numerele naturale nenule nn pentru care 1⋅2⋅3⋅…⋅n+2023∈N\sqrt{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n + 2023} \in \N.

Olimpiadă, etapa locală, Constanța, 2023
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Se tratează individual cazurile n<5n<5 și separat cazul n≥5n \geq 5.

Indicația 2: Pentru n≥5n \geq 5 ne folosim de ultima cifră pentru arăta că numărul de sub radical nu poate fi pătrat perfect.

Răspuns: n=2

Soluție:

Pentru n≥5n \geq 5 avem Uc(n!+2023)=3U_c(n!+2023) = 3, deci n!+2023n! + 2023 nu poate fi pătrat perfect.

Pentru celelalte cazuri, avem:

  • n=1⇒1!+2023=2024≠n=1 \Rightarrow 1! + 2023 = 2024 \neq p.p.
  • n=2⇒2!+2023=2025=452n=2 \Rightarrow 2! + 2023 = 2025 = 45^2
  • n=3⇒3!+2023=2029≠n=3 \Rightarrow 3! + 2023 = 2029 \neq p.p.
  • n=4⇒4!+2023=2047≠n=4 \Rightarrow 4! + 2023 = 2047 \neq p.p.

Prin urmare, n=2\boxed{n=2}.