Exercițiul 141

Observăm că pentru $n \geq 5$ avem $(n!)^5 = (k \cdot 2 \cdot 5)^5$. deci $U_{2c}[(n!)^5 + 145] = 45$. Prin urmare, numărul de sub radical nu este pătrat pefect (doar numerele cu $U_{2c}=25$ ar putea fi pătrate perfecte).

Verificăm manual celelalte cazuri:

• $n=1 \Rightarrow (n!)^5 + 145 = 1 + 145 = 146 \neq p.p.$
• $n=2 \Rightarrow (n!)^5 + 145 = 2^5 + 145 = 177 \neq p.p.$
• $n=3 \Rightarrow (n!)^5 + 145 = 2^5 \cdot 3^5 + 145 = 7921 = 98^2 = p.p.$
• $n=4 \Rightarrow (n!)^5 + 145 = 2^5 \cdot 3^5 \cdot 4^5 + 145 = 7921 \cdot 1024 + 145 = 8111249 \neq$ p.p.

OBS: Fără calculator, ultimul număr e dificil de verificat dacă e p.p. Alternativa (nici ea prea simplă) ar fi:
$(2 \cdot 3 \cdot 4)^5 + 145 = 24^5 + 145 = (M_7+3)^5 + M_7+5 = M_7+3^5 + M_7 + 5 = M_7+3 \neq p.p.$

Demonstrăm că nu există pătrate perfecte care împărțite la $7$ să dea restul $3$.

$(M_7+0)^2 ~(mod~7) = 0$
$(M_7+1)^2 ~(mod~7) = 1^2 ~(mod~7)=1$
$(M_7+2)^2 ~(mod~7) = 2^2 ~(mod~7)=4$
$(M_7+3)^2 ~(mod~7) = 3^2 ~(mod~7)=2$
$(M_7+4)^2 ~(mod~7) = 4^2 ~(mod~7)=2$
$(M_7+5)^2 ~(mod~7) = 5^2 ~(mod~7)=4$
$(M_7+6)^2 ~(mod~7) = 6^2 ~(mod~7)=1$

Deci nu există niciun pătrat perfect care, împărțit la $7$, să dea restul $3$.