Exercițiul 219

E.219. Fie z1z_1, z2z_2, z3z_3 numere complexe de modul 11, cu proprietatea că ∣zi−zj∣≥2|z_i−z_j| \geq \sqrt{2}, pentru orice i,j∈{1,2,3},i, j ∈ \{1, 2, 3\}, i≠j.i \neq j. Demonstrați că
∣z1+z2∣+∣z2+z3∣+∣z3+z1∣≤3.|z_1+z_2| + |z_2+z_3| + |z_3+z_1| \leq 3.

Olimpiadă, etapa județeană, 2022
Soluție
Soluție:

Din ∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣=1|z_1|=|z_2|=|z_3|=1 rezultă că z1,z_1, z2,z_2, z3z_3 pot fi considerate afixe pentru 33 puncte A,A, B,B, CC situate pe un cerc de rază R=1.R=1.
Din ∣zi−zj∣≥2|z_i−z_j| \geq \sqrt{2} rezultă că distantă dintre oricare două vârfuri ale triunghiului este ≥2.\geq \sqrt{2}.
Cum 2\sqrt{2} reprezintă ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catete de lungime 1,1, rezultă că unghiurile AOB^,\widehat{AOB}, BOC^,\widehat{BOC}, COA^\widehat{COA} sunt simultan mai mari de 90°,90\degree, deci △ABC este ascuțitunghic.\boxed{\triangle ABC \text{ este ascuțitunghic}}.

Dacă M,M, N,N, PP sunt mijloacele laturilor triunghiului ABCABC, avem:

z2+z3=OB→+OC→=2OM→⇒∣z2+z3∣=2OM.z_2 + z_3 = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OM} \Rightarrow \boxed{|z_2+z_3|=2OM}. Analog pentru celelalte două sume.

∣z1+z2∣+∣z2+z3∣+∣z3+z1∣=2(OM+ON+OP)=Carnot2(R+r)≤Euler2(R+R2)=3R=3.|z_1+z_2| + |z_2+z_3| + |z_3+z_1| = 2(OM+ON+OP) \overset{Carnot}{=} 2(R+r) \overset{Euler}{\leq} 2\Big(R + \dfrac{R}{2}\Big) = 3R = 3.

Relația lui Carnot: Într-un triunghi ascuțitunghic avem OM+ON+OP=R+r,\boxed{OM+ON+OP = R+r}, unde:

  • OO - centrul cercului circumscris triunghiului;
  • OM,OM, ON,ON, OPOP - distanțele de la OO la laturile triunghiului;
  • RR - raza cercului circumscris triunghiului;
  • rr - raza cercului înscris în triunghi.