Exercițiul 202

E.202. Problema săptămânii 258

Dacă a,b,c>1a, b, c > 1 satisfac 1a−1+1b−1+1c−1=1,\dfrac{1}{a-1} + \dfrac{1}{b-1} + \dfrac{1}{c-1} = 1, demonstrați că abc≥64.abc \geq 64.

Soluție
Soluție:

Facem substituțiile x=1a−1,y=1b−1,z=1c−1x=\dfrac{1}{a-1}, y=\dfrac{1}{b-1}, z=\dfrac{1}{c-1} și obținem enunțul echivalent:

x,y,z>0,x+y+z=1⇒(1+1x)(1+1y)(1+1z)≥64.x, y, z > 0, x+y+z=1 \Rightarrow \Big(1+\dfrac{1}{x}\Big)\Big(1+\dfrac{1}{y}\Big)\Big(1+\dfrac{1}{z}\Big) \geq 64.

Vom demonstra această nouă inegalitate:

(1+1x)(1+1y)(1+1z)≥Huygens∗(1+1x⋅1y⋅1z3)3≥hm−gm(1+3x+y+z)3=(1+31)3=64.\Big(1+\dfrac{1}{x}\Big)\Big(1+\dfrac{1}{y}\Big)\Big(1+\dfrac{1}{z}\Big) \overset{Huygens^*}{\geq} \Big(1+\sqrt[3]{\dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{1}{z}} \Big)^3 \overset{hm-gm}{\geq} \Big( 1+\dfrac{3}{x+y+z} \Big)^3 =\Big( 1+ \dfrac{3}{1} \Big)^3 = 64.

(*) Inegalitatea lui Huygens: (1+a1)(1+a2)…(1+an)≥(1+a1a2…ann)n,ai≥0.(1+a_1)(1+a_2) \dots(1+a_n) \geq(1+\sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n})^n, a_i \geq 0.