Exercițiul 168

E.168. Un paralelogram ABCDABCD se descompune în trei triunghiuri isoscele astfel încât AD=DBAD=DB, DF=FBDF=FB, FC=CBFC=CB, unde F∈(DC)F\in(DC). Determinați unghiurile paralelogramului.

Olimpiadă, etapa locală, Harghita, 2017
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Notăm cu xx, yy, zz unghiurile congruente din cele trei triunghiuri isoscele și scriem 3 relații cu aceste necunoscute:

  • DC∥ABDC \parallel AB, DBDB secantă ⇒\Rightarrow relația 1;
  • DC∥ABDC \parallel AB, FBFB secantă ⇒\Rightarrow relația 2;
  • ABCDABCD paralelogram ⇒\Rightarrow relația 3.

Răspuns: 36°36\degreesi 144°144\degree

Soluție:

În triunghiul DABDAB isoscel, notămn A^=B1^=x\widehat{A}=\widehat{B_1}=x;
În triunghiul FDBFDB isoscel, notămn D1^=B2^=y\widehat{D_1}=\widehat{B_2}=y;
În triunghiul CFBCFB isoscel, notămn F1^=B3^=3\widehat{F_1}=\widehat{B_3}=3;

DC∥ABDC \parallel AB, DBDB secantă ⇒x=y;\Rightarrow x=y;
DC∥ABDC \parallel AB, FBFB secantă ⇒x+y=z;\Rightarrow x+y=z;
ABCDABCD paralelogram ⇒x+(x+y+z)=180°.\Rightarrow x+(x+y+z)=180\degree.

Din ultimele 3 relații obținem x=y=36°x=y=36\degree și z=72°z=72\degree, adică A^=C^=36°\boxed{\widehat{A}=\widehat{C}=36\degree} și B^=D^=144°.\boxed{\widehat{B}=\widehat{D}=144\degree}.